Các phương pháp giải Toán ở Tiểu học

THẾ NÀO LÀ ... GIẢ THIẾT TẠM
Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay sự việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau ... 
Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt... 
Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng và mang tính "độc đáo". 
Ví dụ : Trước hết, ta hãy xét một bài toán cổ quen thuộc sau đây: 
Vưa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi mấy gà, mấy chó?
Cách 1: 
(Cách giải quen thuộc) 
Rõ ràng 36 con không thể là gà cả (vì khi đó có 2 x 36 = 72 chân!), cũng không thể là chó cả (vì khi đó có 4 x 36 = 144 chân!). 
Bây giờ ta giả sử 36 con đều là chó cả (đây là giả thiết tạm), thì số chân sẽ là: 4 x 36 = 144 (chân). 
Số chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân) 
Sở dĩ như vậy là vì số chân của mỗi con chó hơn số chân của mỗi con gà là: 4 - 2 = 2 (chân). 
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con). 
Số chó là: 36 - 22 = 14 (con). 
Cách 2: 
Ta thử tìm một giả thiết tạm khác nữa nhé. 
Giả thiết, mỗi con vật được "mọc" thêm một cái đầu nữa ! khi đó, mỗi con có hai đầu và tổng số đầu là: 
2 x 36 = 72 (đầu) 
Lúc này, mỗi con gà coá hai đầu và hai chân , Mỗi con chó có hai đầu bốn chân. Vởy số chân nhiều hơn số đầu là: 
100 - 72 = 28 (cái) 
Đối với gà thì số chân bằng số đầu, còn đối với chó có số chân nhiều hơn số đầu là: 
4 - 2 = 2 (cái) 
Suy ra số chó là: 
28:2 = 14 (chó) 
Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà). 
Cách 2: 
Bây giờ ta giả thiết một tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết mỗi con vật đều bị "chặt đi" một nửa số chân. Như vậy, mỗi con chó chỉ còn có hai chân và mỗi con gà chỉ con một chân. tổng số chân cũng chỉ còn một nửa, tức là: 
100 : 2 = 50 (chân 0. 
Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải "co" một chân lên để mỗi con vật chỉ có một chân, khi đó 36 con vật có 36 chân. Như vậy, số chân chó phải "co" lên là: 
50 - 36 = 14 (chân). Vì mỗi con chó có một chân "co" nên suy ra có 14 con chó. 
Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 9con). 
Cách 4: 
Gợi ý : Giả sử mỗi con gà "mọc thêm" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 4 chân và tổng số chân là: 
4 x 36 = 144 (chân)... 
Mời các bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời này dựa vào cách giải nào đã biết). 
Cách 5: 
Gợi ý : Giả sử mỗi con chó "bị chặt đi" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 2 chân và tổng số chân là: 
2 x 36 = 72 (chân)... 
(Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau đó cũng xét xem giả thiết tạm thời này đã dựa vào cách giải quen thuộc nào nhé.) 
Sau đây là một số bài vận dụng: 
Bài tập 1: 
Rạp Kim Đồng một buổi chiếu phim bán được 500 vé gồm hai loại 2000đ và 3000đ. Số tiền thu được là 1120000đ. Hỏi số vé bán mỗi laọi là bao nhiêu? 
(Trả lời: 380 vé và 120 vé). 
bài tập 2:(bài toán cổ) 
Quýt ngon mỗi quả chia ba 
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười 
Mỗi người một miếng, trăm người 
Có mười bẩy quả, chia rồi còn đâu! 
Hỏi có mấy quả cam, mấy quả quýt? 
(Trả lời: 7 quả cam, 10 quả quýt!) 
Vũ Dương Thuỵ 
RÚT GỌN PHÂN SỐ
Rút gọn một phân số đã cho là tìm một phân số bằng nó mà tử số và mẫu số này nhỏ hơn tủ số và mẫu số của phân số đã cho. Thông thường, khi rút gọn phân số là phải được một phân số tối giản. Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số và mẫu số cho một số tự nhiên lớn hơn 1. Điều quan trọng nhất là phải tìm được số tự nhiên đó để thực hiện việc rút gọn phân số. Việc này có thể thực hiện một lần hoặc vài lần mới tìm được phân số tối giản. dưới đây là một số ví dụ minh hoạ về cách tìm "số để rút gọn được". 
1. Dựa và dấu hiệu chia hết 
Ví dụ. Rút gọn mỗi phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5). 
2. Chia dần từng bước hoặc gộp các bước (theo quy tắc chia một số cho một tích). 
Ví dụ. Rút gọn phân số 132 / 204 
132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 
66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 
vật 132 / 204 = 11/17. 
Vì 2 x 2 x 3 = 12 nên 
132:12 / 204:12 = 11/17. 
3. Dùng cách thử chọn theo các bước. 
Ví dụ. Rút gọn phân số 26/65. 
Bước 1: 26:2 = 13 
Bước 2: 65:13 = 5 
Bước 3: Cùng chia 13. 
26:13 / 65:13 = 2/5. 
4. Phân số có dạng đặc biệt. 
Ví dụ. Rút gọn phân số 1133 / 1442. 
Bước 1: 1133 : 11 = 103 
Bước 2: 1442 :14 = 103 
Bước 3: Cùng chia 103. 
1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14. 
Vạn dụng những hiểu biét của mình, các em hãy tự giải các bài tập sau: 
Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313. 
Đỗ Trung Hiệu 
BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI
Các bạn vừa giải bài toán “Ôtôna đã làm thế nào?”. Đây là bài toán tương tự của bài toán dân gian: 
“Một người nông dân nuôi được 17 con trâu. Trước khi qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: 
- Con cả được 1/2 đàn trâu. 
- Con thứ được chia 1/3 đàn trâu. 
- Con út được chia 1/9 đàn trâu. 
Ba người con loay hoay không biết làm thế nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các con trâu. Em hãy tìm cách giúp họ”. 
Có thể giải bài toán như sau: 
Em đem một con trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu bằng gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 con trâu thành một đàn 18 con trâu. Sau đó: 
- Chia cho người con cả 1/2 đàn, tức là: 18 : 2 = 9 (con trâu) 
- Chia cho người con thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : 3 = 6 (con trâu) 
- Chia cho người con út 1/9 đàn, tức là: 18 : 9 = 2 (con trâu) 
Vậy ba người con được vừa đúng: 
9 + 6 + 2 = 17 (con trâu) 
Còn em lại mang con trâu của mình về. 
Cách giải trên tuy hơi lạ nhưng cũng dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho 3 và cho 9; nhưng khi có thêm 1 con trâu nữa thì 18 liền chia hết cho 2, 3 và 9. Nhờ thế mà chia được. 
Song cái độc đáo của cách giải này lại ở chỗ khác cơ. 
Nếu ta để ý thì thấy ngay 
9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 ) 
6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 ) 
2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 ) 
Do đó trong cách chia trên người con nào cũng được hưởng lợi. ấy thế mà em lại không mất thêm một con trâu nào (con trâu đem đến lại dắt về). Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm ở đây là do tổng ba phân số biểu thị các phần được 
chia theo di chúc chưa bằng 1 (tức là chưa bằng cả đàn trâu), vì: 
(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu) 
Như vậy, thật ra người cha đã chỉ di chúc chia cho các con có 17/18 đàn trâu mà thôi, còn thiếu 1/18 nữa thì mới đủ 18/18, tức là cả đàn trâu. 
Thế nhưng nhờ em đem thêm 1 con trâu nữa tới nên đã chia được cho ba người con cả đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con). Do đó cả ba người con đều được chia nhiều hơn phần nêu ở di chúc nhưng em lại không tốn thêm một con trâu nào! 
Thật là một bài toán độc đáo! 
Phạm Đình Thực
(TP Hồ Chí Minh)
MỘT DẠNG TOÁN
DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Trong tháng 9 các em lớp 5 đã học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Các em đã được làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu sao (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho một số nào đó. Chẳng hạn : 
Bài toán1 : (bài 4 trang16 SGK toán 5)
Viết chữ số thích hợp vào dấu sao (*) để được số chia hết cho 9 :
a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891
ở các bài toán này ta chỉ cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số điền vào dấu *. Khi đã học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, các em có thể giải các bài toán phối hợp các điều kiện chia hết để điền những chữ số thích hợp :
Bài toán 2 : Thay a, b trong số 2003ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2, 5 và 9.
Phân tích : Tìm chữ số nào trước, muốn tìm chữ số ấy dựa vào dấu hiệu nào ?
b là chữ số tận cùng nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Vậy tìm a sẽ dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9. Một số chia hết cho 2 và 5 khi số đó có tận cùng là 0. Từ đó ta có cách giải sau.
Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2003ab ta được 200a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho 9 hay (5 +a) chia hết cho 9. Vì 5 chia cho 9 dư 5 nên a chỉ có thể là 4.
Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là :
- A - r chia hết cho B (1)
- A + (B - r) chia hết cho B (2)
Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán :
Bài toán 3 : Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1.
Nhận xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 đồng thời chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải.
Giải : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.
ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét :
Bài toán 4 : Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.
Tuy các số dư khác nhau nhưng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này.
Giải : Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.
Vậy A +1 = 60
A = 60 - 1
A = 59
Do đó số cần tìm là 59.
Bài viết này mới chỉ đề cập tới một phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số. Giải các bài toán xác định các chữ số chưa biết của một số các bạn có thể tìm thêm những phương pháp khác và luyện t ... , mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Phân tích : Ta tóm tắt bài toán như sau : 
5 người làm 6 giờ nhận 150000 đồng 
15 người làm 3 giờ nhận ? đồng 
Để giải bài toán có ba đại lượng, ta phải cố định một đại lượng (làm cho một đại lượng như nhau) để tìm giá trị chưa biết của một trong hai đại lượng kia. Việc giải ví dụ 2 đưa về giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1a : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
15 người so với 5 người thì gấp : 
15 : 5 = 3 (lần) 
15 người, mỗi người làm việc 6 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 x 3 = 450000 (đồng) 
Bài toán 2a : Nếu 15 người, mỗi người làm việc 6 giờ được nhận 450 000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người như nhau). 
Lời giải : 
6 giờ so với 3 giờ thì gấp : 
6 : 3 = 2 (lần) 
15 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
450000 : 2 = 225000 (đồng) 
Đáp số của bài toán 2 chính là đáp số của ví dụ 2. Chú ý : Có con đường khác để giải ví dụ 2 là đưa về việc giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
5 người mỗi người làm việc 1 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 : 6 = 25000 (đồng) 
5 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
25000 x 3 = 75000 (đồng) 
Bài toán 2b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận 75000 đồng. Hỏi : Nếu có 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mọi người như nhau). 
Lời giải : 
Mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
75000 : 5 = 15000 (đồng) 
15 người mỗi người làm việc trong 
3 giờ thì được nhận số tiền là : 
15000 x 15 = 225000 (đồng) 
Như vậy những bài toán phức tạp hơn, có nhiều đại lượng hơn sẽ được giải quyết nhờ đưa về các bài toán chỉ có hai đại lượng. Bây giờ các bạn hãy cùng giải các bài toán sau đây : 
Bài 1 : Người ta tính rằng cứ 3 xe cùng loại chở hàng, mỗi xe đi 50 km thì tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng. Hỏi 5 xe như thế, mỗi xe đi 100 km thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu ? 
Bài 2 : Có 5 người ăn trong 8 ngày hết 24 ki-lô-gam gạo. Hỏi 7 người ăn trong 10 ngày thì hết bao nhiêu ki-lô-gam gạo ? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi người là như nhau. 
Các bạn có thể trao đổi tiếp xung quanh bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch. Mong nhận được nhiều ý kiến của các bạn. 
Đỗ Văn Thản
(Số nhà 129, đường 6, phố Khánh Thành, phường Tân Thành, 
thị xã Ninh Bình, Ninh Bình)
MỘT CON ĐƯỜNG SÁNG TẠO 
NHỮNG BÀI TOÁN
Mỗi năm các em học sinh đều trải qua nhiều kì thi. Các thầy cô cũng phải tự soạn, tự sáng tác nhiều đề thi, đề kiểm tra để rèn kĩ năng giải toán cho học sinh. Một trong những định hướng mà tôi rất tâm đắc là sáng tác những đề toán có gắn với con số chỉ năm. Ngoài việc sử dụng nó như một số tự nhiên khác, nếu khám phá thấy đặc điểm riêng của nó ta có được những bài toán thật bất ngờ, thú vị. Tôi xin trao đổi với bạn đọc một kinh nghiệm nhỏ qua hai ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Phân tích số 1995 thành tích các thừa số ta có kết quả như sau :
1995 = 3 x 5 x 7 x 19 = 19 x 15 x 7. Thay các chữ bởi các chữ cái ta có :
Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Bài toán có nhiều cách giải, mỗi cách giải đều ẩn chứa nhiều điều lí thú và bổ ích. Xin nêu 2 cách giải điển hình nhất :
Cách 1 :
Đặt phép tính như sau : Vì 7 x a + (nhớ) = 10 nên a = 1 7 x 1 + (nhớ) = 10 nên số nhớ là 3. Do đó c = 5. Thay a = 1, c = 5 vào (*) ta có :
1005 + b x 110 = 1050 + 105 x b
b x 5 = 45
(cùng trừ cả 2 vế đi 105 x b và 1005)
b = 45 : 5
b = 9
Vậy : 1995 = 19 x 15 x 7
Cách 2 :
Ví dụ 2 : Phân tích số 2004 thành tích các thừa số : 2004 = 2 x 2 x 3 x 167 = 1 x 12 x 167.
Thay các chữ số bởi các chữ cái ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Sau đây là cách giải rất quen thuộc đối với tiểu học :
Bây giờ mời các bạn giải trí với bốn bài toán nhỏ sau :
Bài 1 : Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 28.
Bài 2 : Tìm số lớn nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 2.
Bài 3 : Tìm số lẻ lớn nhất có 4 chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 3.
Bài 4 : Số nào thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Lớn nhất, có 4 chữ số
b) Chẵn, không chia hết cho 5
c) Tổng các chữ số của nó bằng 4.
Một người thầy dạy toán mà chỉ biết hướng dẫn học sinh giải những bài toán sẵn có trong sách thì chưa đủ. Người thầy giỏi là phải định hướng cho học sinh phương pháp giải của từng dạng toán và đặc biệt cần phải biết sáng tạo ra những bài toán phù hợp với từng lớp và vận dụng được kiến thức mà các em đã được học. Tôi hi vọng được học hỏi kinh nghiệm của nhiều bạn đọc khác. Mong các bạn cùng trao đổi trên Toán Tuổi thơ nhé !
Đào Việt Khanh
(Sở GD - ĐT Thái Bình)
TỪ MỘT BÀI TOÁN HAY TRONG TOÁN TUỔI THƠ
Gần đây trong chuyên mục “Nhìn ra thế giới” có nhiều bài toán hay, hấp dẫn bạn đọc. Câu chuyện trao đổi giữa hai ông cháu về một bài toán hay như thế sẽ giúp các bạn nhận ra một cách học toán bổ ích. 
Bài toán (Bài số 17, Olympic Toán Tiểu học, Singapore 2002 - TTT 45) : 
Một hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình vẽ. Diện tích của hình nhận được bằng 5/8 diện tích của hình chữ nhật ban đầu. Biết diện tích phần tô đậm là 18 cm2. Tìm diện tích chữ nhật ban đầu. 
1. Đoạn băng thứ nhất : 
Tìm lời giải của bài toán 
Ông : Nào chúng ta cùng đi tìm lời giải bài toán này nhé. Trước hết cháu hãy quan sát hình vẽ, đọc kĩ đề bài rồi tự trả lời : “Bài toán cho biết gì ? Bài toán yêu cầu gì ?” 
Cháu : Thưa ông... bài toán cho biết hai điều là : 
- Diện tích hình nhận được bằng 5/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu. 
- Diện tích phần tô đậm bằng 18 cm2 
Bài toán yêu cầu một điều là : “Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu”. 
Ông : Bình thường để tìm diện tích hình chữ nhật ban ta phải tìm những gì ? 
Cháu : Thưa ông, bình thường để tính diện tích hình chữ nhật ta cần tìm chiều dài, chiều rộng rồi dựa vào quy tắc mà tính. Nhưng... ở bài này không hề cho độ dài của một đoạn thẳng nào. 
Ông : Đôi khi người ta không cần biết chiều dài và chiều rộng mà vẫn tính được diện tích hình chữ nhật. Cháu có biết khi đó người ta làm như thế nào không ? 
Cháu : Thưa ông... khi đó... người ta tìm mối quan hệ giữa diện tích hình chữ nhật với diện tích một hình nào đó đã biết. 
Ông : Cháu đã nghĩ đúng hướng rồi đấy. Để tìm ra “mối quan hệ” đó cháu phải dựa vào “một điều đã biết” rất quan trọng nữa mà cháu chưa nêu hết trong phần giả thiết của bài toán. 
Cháu : à cháu thấy rồi ! Thưa ông... điều cháu còn thiếu chưa nêu ra là : “hình mới nhận được là do hình chữ nhật ban đầu gấp theo đường chéo”... 
Ông : Đúng, bây giờ cháu hãy lấy một tờ giấy hình chữ nhật gấp theo đường chéo để được hình mới nhận, rồi từ đó cháu cố gắng nhận xét xem phần tô đậm trong cách gấp đó có đặc điểm gì ? Có thể qua cách gấp này cháu sẽ phát hiện ra mối quan hệ đấy. 
Cháu : Thưa ông cháu gấp hình chữ nhật như vậy thì thấy phần tô đậm đã bị xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình nhận được so với diện tích hình chữ nhật ban đầu đã bị giảm đi đúng diện tích phần tô đậm (18 cm2). 
Ông : Đó chính là “mối quan hệ” mà cháu muốn biết đấy. Từ đó cháu có thể lần ra được lời giải... 
Cháu : Thưa ông... diện tích hình nhận được bằng 5/8 hình chữ nhật ban đầu nên diện tích phần tô đậm bằng 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu (1 - 5/8 = 3/8). Từ đó cháu tính được diện tích hình chữ nhật là : 18 : 3 x 8 = 48 (cm2). 
Ông : Thế là cháu đã giải quyết xong bài toán. Nếu bỏ sót giả thiết ban nãy thì chắc chắn cháu sẽ “bế tắc”, có phải không ? Biết xuất phát đúng từ đâu để đi đến lời giải là một yêu cầu cần rèn luyện khi học giải toán đấy cháu ạ... Học giải toán chủ yếu là học “phương pháp” giải toán. 
2. Đoạn băng thứ hai: 
Nghĩ thêm về bài toán đã giải. 
Ông : Bây giờ ông cháu ta thử cùng suy nghĩ thêm nhé ! Cháu thử nhận xét về vị trí điểm M trên cạnh AB của hình chữ nhật được không ? 
Cháu : Xem hình vẽ, cháu cảm thấy điểm M là điểm chính giữa của cạnh AB. 
Ông : Bây giờ ông đưa cháu mấy tờ giấy mà ông đã cắt thành những hình chữ nhật khác nhau để cháu làm “thí nghiệm” về điểm M nhé ! 
Cháu (một hồi im lặng - chắc là thực hiện việc gấp các tờ giấy hình chữ nhật mà ông đưa) : Thưa ông... ông cháu mình vẽ sai rồi. Cả mấy tờ giấy cháu gấp thì M không là điểm giữa của AB. 
Ông (cười) : Hình vẽ của ông cháu mình “chẳng may” rơi vào tình huống M là điểm chính giữa của AB. Còn thực tế thì... cháu có thể so sánh AM và BM để xem M ở vị trí như thế nào được không ? Chắc là cháu sẽ lại phải dựa vào... diện tích các hình... 
Cháu : Đúng rồi ông ạ... Hai đoạn AM và BM là hai đáy của hai tam giác AMC và MBC. So sánh diện tích hai tam giác này là cháu sẽ so sánh được AM và BM ! 
Ông : Cháu của ông khá lắm ! 
Cháu : à... cháu nghĩ ra rồi. Nếu coi diện tích hình chữ nhật là 8 phần bằng nhau thì diện tích tam giác AMC là 3 phần (bằng 3/8 diện tích hình chữ nhật). Diện tích tam giác ABC là 4 phần ( bằng nửa diện tích hình chữ nhật), do đó diện tích tam giác MBC là 1 phần (4 - 3 = 1). Diện tích tam giác AMC gấp 3 lần diện tích tam giác MBC (3 : 1 = 3), suy ra cạnh đáy AM gấp 3 lần cạnh đáy MB (do chung đường cao BC). Vậy AM = 3 x BM. 
Ông : Đúng rồi ! Như vậy ông cháu ta phải vẽ hình sao cho AM = 3 x BM, có phải không cháu ? 
Cháu : Vâng ạ... Nhưng ông ơi ! Mấy tờ giấy cháu gấp, chẳng có trường hợp nào điểm M lại nằm như vậy... 
Ông : Cháu nhận xét đúng lắm ! Vậy điều này có nghĩa là gì nhỉ ? 
Cháu : Không phải tờ giấy hình chữ nhật bất kì nào cũng... “làm được” chuyện “AM = 3 x BM”. 
Ông : Đúng ! Mai kia học lên lớp trên cháu có thể biết được hình chữ nhật như thế nào thì mới xảy ra điều đó. Bài toán này khép lại, nhưng bài toán khác lại mở ra và suy nghĩ của chúng không bao giờ được dừng lại... 
Cháu : Cháu rất thích được làm toán với ông...