Những dấu hiệu chia hết trong Toán học

Khi giải các bài tập toán liên quan đến chia hết, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2 ; 3 ; 5 và 9. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều bài phải vận dụng một số tính chất chia hết khác để giải. Chúng ta cùng tìm hiểu nhé.
1. Dấu hiệu chia hết cho 2: các số x có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số x có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
3. Dấu hiệu chia hết cho 4: các số x có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
4. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số x có tận cùng bằng 0, 5 thì chia hết cho 5.
5. Dấu hiệu chia hết cho 6: các chữ số vừa có thể chia hết cho 2 vừa có thể chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
6. Dấu hiệu chia hết cho 7:
Quy tắc thứ nhất: Lấy chữ số đầu tiên bên trái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội củ 7; được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Ví dụ: a) cho số 714
-có (7.3 + 1) - 3.7 = 1
-có (1.3 + 4) - 7 = 0
Vậy số 714 chia hết cho 7.
Kểm tra thấy: 714 = 7.102
b) cho số 24668
-có (2.3 + 4) - 7 = 3
-tiếp theo (3.3 + 6) - 2.7 = 1
-tiếp theo (1.3 + 6) - 7 = 2
-cuối cùng 2.3 + 8 = 14 chia hết cho 7
Vậy số 24668 chia hết cho 7
Kiểm tra thấy: 24668 = 7.3524
+ Trường hợp số có hai chữ số:
+ Trường hợp số có ba chữ số:
Quy tắc thứ hai: Lấy chữ số đầu tiên bên phải nhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Ví dụ:
a) Số 2275
-có (5.5 + 7) - 7.4 = 4
-có (4.5 + 2) - 7.3 = 1
-có (1.5 + 2) - 7 = 0
Vậy 2275 chia hết cho 7.
Kiểm tra thấy: 2275 = 7.325
b) số 35742
-có (2.5 + 4) - 7.2 = 0
-có (0.5 + 7) - 7 = 0
-có (0.5 + 5) - 7.0 = 5
-có (5.5 + 3) - 7.4 = 0
Vậy 35742 chia hết cho 7.
Kiểm tra thấy: 35742 = 7.5106
CHỨNG MINH DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 7
Như các bạn biết, dấu hiệu chia hết cho 7 áp dụng dãy 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,... với quy tắc nhân lần lượt các số trên dãy này với các số từ hàng đơn vị của số cần xét tính chia hết.
1 ứng với hàng 1
3 ứng với hàng 10
2 ứng với hàng 100
-1 ứng với hàng 1000...
Dễ dàng nhận thấy 1-1 chia hết cho 7, 10-3 chia hết cho 7, 100-2 chia hết cho 7, 1000+1 chia hết cho 7 và cứ thế...
VD: chia hết cho 7
 chia hết cho 7 ( Do đều chia hết cho 7)
 chia hết cho 7
Dấu hiệu chia hết cho 13 chứng minh tương tự với dãy : ,...
7. Dấu hiệu chia hết cho 8: các số x có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì x chia hết cho 8.
8. Dấu hiệu chia hết cho 9: Trong các chữ số 61 x chia hết cho 9 thì x chia hết cho 9.
9. Dấu hiệu chia hết cho 10: những số x có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10.
10. Dấu hiệu chia hết cho 11: nếu tổng tất cả các chữ số ở vị trí chẵn như 2 4 6 8 bằng tổng các chữ số ở vị trí lẻ thì x chia hết cho 11.
11. Dấu hiệu chia hết cho 12: nếu x vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì x chia hết cho 12.
12. Dấu hiệu chia hết cho 13:
Qui tắc trên đây cũng có thể áp dụng để nhận biết dấu hiệu chia hết cho 13. Bạn  hãy thục hành vói số:
N = 873612 190692815265867774391091
Số N gồm 30 chữ số, nên có thể chia thành 10 nhóm số [chẳn], mỗi nhóm 3 số..
N = 873. 612. 190. 692. 815. 265. 867. 774. 391. 091.
1. S1 = 8 - 6 + 1 - 6 + 8 - 2 + 8 - 7 + 3 - 0 = 7
7 + ["0"] = 70   =>   70 = [5 x 13] + 5.   =>   R1 = 5.
2. S2 = [R1]5 + 7 - 1 + 9 - 9 + 1 - 6 + 6 - 7 + 9 - 9 = 5.
5 + [ "0" ] = 50.   =>   50 = [ 3 x 13 ] + 11.   =>   R2 = 11.
3. S3 = [R2]11 + 3 - 2 + 0 - 2 + 5 - 5 + 7 - 4 + 1 - 1 = 13.
* Ðến đây, ta tính được S3 = 13 [ bội của 13].
Vậy có thể kết luận:
Số N = 8736. . . . . 1091. chia hết cho 13.
Lưu ý: Chỉ có một trong trong những số sau đây là chia hết cho 13. Cũng vậy, chỉ có
một trong những số này chia hết cho 7. Và cũng chỉ có một trong những số này chia hết cho 11.
Bạn hãy thử tìm xem nhũng số đó là số nào?
N1 = 7942603594320271151120681.
N2 = 277900859916245742465597.
N3 = 41986360335384870752178.
N4 = 157226 157686018425.
13. Dấu hiệu chia hết cho 14: x là số chia hết cho 14 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 7.
14. Dấu hiệu chia hết cho 15: x chia hết cho 15 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 5.
15. Dấu hiệu chia hết cho 16: x là số chia hết cho 16 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 8.
16. Dấu hiệu chia hết cho 17:
Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi 5 lần số hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 17 thì nó chia hết cho 17
VD: lấy số 153 nha bạn
15 - 3x5 = 0 chia hết cho 17 => 153 chia hết cho 17
17. Dấu hiệu chia hết cho 18: x là số chia hết cho 18 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 9.
18. Dấu hiệu chia hết cho 19:
LÝ THUYẾT
Mọi số N đều có thể viết dưới dạng N = 10x + y trong đó x là số chục không phải là chữ số hàng chục, mà là tổng số các chục tròn trong số N và y là chữ số đơn vị.
Cần chứng minh N là Bội của 19 khi và chỉ khi
N* = x + 2y là Bội của 19
Muốn vậy, phải nhân N vói 10 và trù N vào Tích số này
=>  10N* - N = 10[x + 2y] - [10x + y] = 19y
Do đó  nếu N là Bội của 19 thì N = 10N* - 19 y là Bội của 19.
Và ngược lại, nếu N chia hết cho 19 thì 10N* = N + 19y là Bội của 19
Khi đó tất nhiên N chia hết cho 19
THỰC HÀNH
Xác định tính chia hết cho 19 của N = 47045881
Áp dụng liên tục tiêu chuẩn chia hết
4704588.1 [ Số đơn vị là 1].           Suy ra 470588 + 2 = 4704590
47045.9 [Số đơn vị là 9].                    Suy ra 47045+18=47063
4706.3 [Số đơn vị là 3].                         Suy ra 4706+6=4712
471.2 [Số đơn vị là  2].                             Suy ra 471+4=475
47.5 [Số đơn vị là  5].                                  Suy ra 47+10=57
5.7 [Số đơn vị là 7].                                        Suy ra 5+14=19
Vi 19 chia hết cho 19 nên các số 57, 475, 4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881 cũng chia hết cho 19
19. Dấu hiệu chia hết cho 20: x chia hết cho 20 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 10.
20. Dấu hiệu chia hết cho 21: x chia hết cho 21 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 7.
21. Dấu hiệu chia hết cho 29: ta lấy số hàng đơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổng chia hết cho 19 thì nó chia hết cho 19.
22. Dấu hiệu chia hết cho 37: ta lấy số hàng đơn vị nhân 11 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệu chia hết cho 37 thì nó chia hết cho 37.
23. Dấu hiệu chia hết cho 31: ta lấy số hàng đơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệu chia hết cho 31 thì nó chia hết cho 31.
24. Dấu hiệu chia hết cho 41: ta lấy số hàng đơn vị nhân 4 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệu chia hết cho 41 thì nó chia hết cho 41.
25. Dấu hiệu chia hết cho 43: ta lấy số hàng đơn vị nhân 13 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổng chia hết cho 43 thì nó chia hết cho 43.
26. Dấu hiệu chia hết cho 59: ta lấy số hàng đơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệu chia hết cho 59 thì nó chia hết cho 59.
27. Dấu hiệu chia hết cho 61: ta lấy số hàng đơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổng chia hết cho 61thì nó chia hết cho 61.
BÀI TẬP
Ví dụ 1 : Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 3.
Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.
Giải : Đặt M = abc  thì N = cba  (a > c > 0 ; a, b, c là chữ số), khi đó  M - N = abc - cba. Giả sử  cba chia cho 3 dư r (0 Ê r < 3) thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M - N chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó.
(Đề thi Tiểu học Thái Lan)
Phân tích: Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó. Từ đó ta tìm được số chia để suy ra số dư
Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc (a > 0 ; a, b, c < 10). Vì hai số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 - 31513) chia hết cho abc  hay 2856 chia hết cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nên  abc  = 714. Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97). Vậy số dư của hai phép chia đó là 97.
Ví dụ 3 : Tìm thương và số dư của phép chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x  x 15 + 200) : 182.
Phân tích : Nếu trong một tổn
g có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng, nếu tổng các số dư đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó.
Giải : Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x 15) chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 (dư 18) nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.
(Bạn đọc tự tìm ra đáp số)
Ví dụ 4 : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có bao nhiêu con cừu ?”. Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ?
Phân tích : Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu.
Giải : Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 - 6 = 4719 (con).
Trên đây là 4 ví dụ tiêu biểu mà khi giải phải vận dụng một số tính chất chia hết. Những tính chất này không có trong chương trình cơ bản của tiểu học. Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy nó qua các bài toán. Học toán chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo và vận dụng kiến thức được học một cách linh hoạt mới thấy được vẻ đẹp của toán học phải không các bạn ? Hi vọng bài viết này là một kinh nghiệm nhỏ giúp các bạn học tốt hơn.
Nguồn: Sưu tầm